2020-04-17

2020年4月17日　毒

退屈なのでなんとなくはてブロを書くことにした。別にこれを書いてて楽しくなったり，気がまぎれるというわけでもない。何か出来事があったということでもない。むしろ何もない。何かあってほしい。しかし起こってほしい面白いことにも心当たりがないなあ。

はてブロで日記を書くとき書くことがあるというわけでもないので考えながら書いている。さっき肺(気管支)にジュースが入ってからとても苦しい。春なので山を見に行ったら黄緑色の葉が地面を覆っていた。ソメイヨシノの花が散ってから新緑が現れるまでの時間があまりに短くてびっくりする。パンジーの花の色と模様をずっと見ていると不安になる。道路の端に咲いているスミレを見ると頑張れ〜と思う。

廃校を改装してシェアハウスにして３人くらいで暮らしていたアーティストの話を聞いて自分も廃校に住みたいと思った。パーソナルスペースが広すぎるのか，昔から部屋は体育館くらい大きくあってほしいと思っていたし，家も4階建てくらいある学校ほど広いのがちょうど理想だ。狭い空間が嫌いだ。広々としているところにいて不安を感じる，ということが全くない。太平洋くらい大きな土地を所有して住むことになったって精神的にはきっと問題ない。

素朴なものが好きだ。単純な仕組みが好きだ。体育館はツルツルの冷たい床しかない。これはとてもいいことだ。人間の部屋にはモノが多すぎる。たくさんのモノが相互に関係していて，人間はそれを調整しないといけない。これはすごく嫌なことだ。世界の複雑さが常に目に見えてしまう。複雑なモノに対してそれを処理する力を身につけるための訓練を人間は一生している。大変なことだ。部屋にいるときくらいそんな時間から抜け出たい。たくさんのモノがある部屋という複雑な環境から抜け出したい。

庭も山くらいほしい。山くらいあればイヌも今より自由に生きれるだろう。住宅街でのイヌの散歩はイヌにとっても私にとっても苦痛だ。注意しなければいけないものが多すぎる。その苦痛に耐えたり緩和したりすることが社会に閉じ込められたイヌとその面倒をみせられている私の役目らしい。私を苦しめる全てのイヌと人間が明日も幸福に生きてくれると良い。

大きな土地の管理には色んなモノが必要だ。そういったモノを全てお金に還元できるのが社会の仕組みなので，お金が必要とも言える。お金という仕組みは本当につまらない。お金があれば何かができるということは正しいが，なければそれができないということはない。お金に囲まれているとそのことがわからなくなってしまう。

家を買って暮らすのにもたくさんのお金が要る。あるいは要らない。お金には興味がないのでお金を集めることに自分を費やす気があまりないが，お金があれば色んな願いが叶う。莫大なお金。まあでも物質的な自分の願いにもさほど興味がない。魚の模様をヘブライ語に見立てる時間が欲しい。

たまにしか言わないけれど自分は頭がおかしいから自分の全ての願いが叶うと本当に思っている。自分には運命があり，運命は誰に与えられたものでもないが，運命の上には自分の全ての願いがきっとある。運命に従って生きる限りそのことは確約されており，そして自分は今まで運命に逆らったことがない。だから今までの人生で何一つとして間違いをしたことがない。一見すると，明日こうなると良いと思うような願いは叶ってないではないかと思われるかもしれない。実際には自分はそういった短い時間での出来事全てに本質的な頓着がないので，それらはいっときの感情に過ぎず，自分は願ってすらいないのだ，と思う。広い空間への希望をついさっき語ったが，長い時間にも希望があり，短い時間のことは捨象している。単純で不変の何か，自分にはそんなものしか見えていない。

運命がどんなものであるかとか，自分の願いが何であるかとか，そんなことは知らないし，わからない。あまり興味もない。自分の未来にも世界の未来にも興味がない。つまらない。もっと面白いことがこの世界にはある。

莫大な願い。いつか全て叶う。私の願いが叶わなかったことは一度もないのだから。

2020-04-01

2020年4月1日の日記

生まれてから一度も睡眠をしていないので，睡眠の仕方を知らない。聞くところによると，真っ暗闇の中で目を瞑って数時間ほど意識を失うことを睡眠というらしい。そんなに長く気絶するなんて恐ろしいことのように思えるが，フツウの人は毎日それをするそうだ。

生まれてから一度も睡眠をしていないので，睡眠の仕方を知らない。私も昔みんなと同じように布団の中に入って目を瞑っていた時期があった。どの時点で意識を失えば良いのか，よくわからなかった。私が眠ることはなかった。使わなくなった布団は捨ててしまった。

生まれてから一度も睡眠をしていないので，睡眠の仕方を知らない。睡眠には夢という不思議な幻覚体験が伴うそうだ。いつか私も夢を見てみたい。

2020-03-20

2020年3月の日記(2/3)

3月の日記(2/3)

11日

パイプラインを1つ飲んだ

12日

パイプラインを1つ飲んだ

13日

パイプラインおやすみ

14日

パイプラインを1つ飲んだ。寒い日だった

15日

パイプラインおやすみ

16日

パイプラインを1つ飲んだ

17日

パイプラインを1つ飲んだ

18日

パイプラインおやすみ

19日

パイプラインを1つ飲んだ。近頃よく眠れず朝8時くらいに寝て14時くらいに起きている。

20日

パイプラインを1つ飲んだ

2020-03-10

2020年3月の日記(1/3)

3月の日記(1/3)

1日

突然3月が始まった。

4日

寝る前にゆめにっきリメイク版の悪夢を見ていた。

5日

オフ会をした。ホワイトボードのあるカフェ・バーだった。お店の持ち主からこれほどのガチ・セミナーは稀だよと褒められてお酒をいただいた。数理物理，基礎論，p進積分版のKontsevich-Zagier問題の解決などいろんな話題が駆け巡って刺激的な一日だった。セル分割に興味があったときにセル分割の結果を引用しているモチビック積分のペーパーを眺めていたことがあったが当時は数論がわからないのでよく分からないとなってしまい特に手が出なかった。今も数論がわからないのでよくわからないがモチベが再燃した。

6日

パイプラインを2本飲んだ。この頃毎日飲んでいる。

7日

パイプラインを2本飲んだ。ご近所さんの家に連行され，お母さま，むすこさん，その恋人さんとお話しした。キッズ組はみんな同い年ということだった。会話は弾まなかったのでソファをふかふかしていた。

8日

パイプラインを1本飲んだ。メイドインアビスのアニメを一気に見ていたら1日が終わった。

9日

パイプラインを1本飲んだ。古典記述集合論とその逆数学の勉強をしている。

10日

パイプラインを2本飲んだ。数論的微分というものの勉強をしている。初等的で面白い。

2020-03-01

2020年2月の日記

1月31日

職場で教室長が生徒の粗相に対して説教をしていた。私は他人の説教を聞くのが嫌いすぎて，自分らが悪さをしたわけではないのにこれを聞いてないといけないのか……と思うと放心状態になってしまった。自分のほっぺたをつねって変顔しながら聞いていたが話が終盤に差し掛かってから正気を取り戻して神妙な顔で深く頷いていた。

7日

犬のメンテナンスに行った。犬の病院はガラス張りで白くて清潔で，動物のにおいとそれをかきけそうとする芳香剤のにおいがまざっていた。犬は拷問台のようなものの上で手足を拘束されるとチャチャっと爪を切られていた。

11日

休日とは知らずに誤出勤した。

13日

図書館の部屋を借りてセミナーをした。図書館の二階には中庭があって，枯山水と謎のオブジェが配置されていた。枯山水は和風かつ古風なのに，オブジェは現代的なので，不思議な空間になっていた。

17日

実家にある巨大な下駄箱(銭湯とかにあるやつ。ロッカーのようになっていて，番号札を抜くと鍵が閉まるやつ)を親が解体していた。タンポポが咲いていたのでこれから春かと思った。

19日

始発の電車に乗ってフォロワーの家へ遊びに行った。タイ語のスタンプを他人に送りつけると，(タイ語未履修者の)相手はその意味がわからず困惑するという遊びにハマった。スタンプは画像なのでそこに書いてある文字をコピペして翻訳にかけることができない。

20日

いくつかのイベントが新型ウィルスの対策として中止になった。新幹線の席を予約していないADHDしぐさが却ってよかった。怪我の功名？(まだ怪我をしていない)

21日

いくつかのイベントが中止。人は神の怒りに触れて真っ二つになったらしい。いくつかの漫画を読んだ。(『娘の友達』や『あせとせっけん』など) これらについて語りたいことが多くあるが時間と体力がない。2月が下旬になっていることに気がついた。

22日

公園に行った。春の気配を感じた。フォロワーと会ったが，待ち合わせるのに駅の近くで演説をしている人(駅には人が多いが右翼系の演説をしている異常者のまわりには人が近寄らない)を目印にしたので，演説者は目印にされたことに傷付いたかもしれないと後日思った。

23日

セミナーを聞いた。そのあと秘密結社の総会に出席した。そのあと横浜駅をふらふら歩いてみたが地下通路でしばらく迷った。

24日

前日に夜更かしして『鬼滅の刃』を読み込んだ。そのあとは夕方まで丸まって寝ていたが，寝過ぎて頭が痛くなった。Lipschitz性の逆数学的性質について考えていた。

25日

前日に博士課程のひとが在学中に書いたノートの全部(紙束)の写真をTwitterに載せていたのをみて，自分の机の上にも同じようなものがあって邪魔なので捨てたいと常々思っていたが，焚き火で燃やしてしまおうと思った。そしてこの日にそれを決行した。夜の多摩川を歩いたが，去年の台風19号の影響でたくさんの流木があって面白かった。

27日

セミナーをした。白いタンポポが密集しているところを見つけた。

28日

放心状態で過ごした。

29日

放心状態で過ごした。

ちなみに29日で2月が終わることに気づいていなくてさっき驚いた。

2020-02-10

2020年1月の概観

年始

年末ジャンボ宝くじを買った。初詣に行った。願い事はしても覚えられないのでしていない。

生活環境

住所とは別に生活スペース(みのりのいえ)があったのだが去年12月末にそこが土地の持ち主から一方的に契約解除されてしまい今後の生活スペースがなくなる問題が発生した。今も解決していないので進行中となっている。この件は自分が生活スペースにしている家の契約主と土地の所有者との間でのトラブルであって，金額の大きい話なので私にはどうしようもない気がする…もちろん私が石油王とかであれば仕方があるが…。

それでそのうち引っ越すと言っていた友人とルームシェアをしようという話になりやる気を出していたが物件探して心が挫けて探す気がなくなった。今はなるようになれという気持ちでいる。

ゲーム

剣盾について

Switchを剣盾の販売と合わせて買ったので，ポケモンをポチポチやっている。基本的にはワイルドエリア散策・キャンプ・対戦を繰り返している。ポケモンにカレーを作って食べさせるのは電子ペットという感じがする。ポケモンの食中毒とか死とか気にしなくて良いので楽ですね...現実はそうでない。対戦はパーティを組むのが大変なので専ら旅パか借りパでやっている。他力本願。

上手く戦えると面白いし，知らない戦略(私がちゃんと対戦を勉強していないから知らないだけで大概はよくある戦略)を見たりするのも刺激的で面白い。みんなよく考えている。(自分も考えていくという主体感がない)

このように主体感なく対戦をしているので気持ち的にはトランプの大富豪をやっているような感覚に近い気がする。感覚の分析は難しく，何がどういった意味で似ているかは書かない。

剣盾から対戦環境がガラッと変わったと聞いたのが対戦をやることの心理的抵抗を減らした気がする。(知らない常識がたくさん自分以外に共有されている場所に無知なまま飛び込むことは怖いので)

今までの作品での対戦環境はあまり知らない。(ガブリアスがめちゃくちゃ強かったという噂くらいは聞いている。今のドラパルトのようなものなのかな。それとミミッキュの"ばけのかわ"が今作だとHPの1/8ダメージだが前作だと0ダメージだったと聞いている。)

そういえば当初はウッウの"うのミサイル"が最強だと話題だったが今はそういう話題を聞かないし対戦でもあまり見たことがない。ウッウはどうなったんだろうか…

フォートナイトについて

Switchだと無料でフォートナイトができるのでやっている。PUBG mobileで培った経験があまり生きておらず新鮮だと感じた。フォートナイトは全プレイヤーがオラついているゲームなのですごい。

テトリス99

一試合が短く終わるので上二つのゲームに飽きたときや直ぐに終わらせたいときにやっている。10位までは入れるがそれ以上にはいけない。Tスピンという本質的な技を理解していないので，いまの私は覇気を知らずに新世界に挑もうとしていたルフィや，念を知らずにやばいところに行ってたゴンとキルア，のようなものだと思う。

買い物

MIDI鍵盤を買ったが動作不良だったのでそれを人に売った。新しいものは2月になってからようやく買えた。他には本をかなり買ったが思いの外読めていない。いま読まなくてもそのうち読むだろうという謎の予感がある。

ブックオフでプログラム意味論と今野微分幾何がたまたまあったので買った。この辺は良い買い物をしたと思う。

それから基本情報技術者試験を受けようと思ってその分厚い参考書を買ったが，今期は試験を受ける気がなくなった。心変わりが早い。臨機応変に生きている。

アニメとか漫画とか

今期アニメについて

まどマギのオタクだったためマギレコを履修している。映像がよくて期待感が高かったが6話までを見て期待感の大きさと比較すると雲行きが怪しいと思っている。ソシャゲ特有の多すぎるキャラクターたちにある程度の見せ場を作らないといけないのがストーリーをうまく回すことと相反している気がする。そういう意味ではけものフレンズが1話ごとに新キャラクターとの出会い・そのキャラクターの掘り下げ・ストーリーの進行・別れを全部処理していたのは凄かったなと思う。
映像研も見たかったが1話を見逃して見逃し救済が見当たらなかったので今期の履修を諦めてしまった。

映画について

スターウォーズのエピソード9を見たかったがまだ見ていない。

メイドインアビスの劇場版を見てそのまま単行本の読んでない巻を買った。成れ果て村のあたりまではかなり前に連載をフォローしていたと思う。最新刊までの内容とほぼ重複していたので，もしかして連載ペースがゆるやか？

借りた漫画

友人が最近よく漫画をまとめ買いしているのでそれを借りている。フリーライド。

おやすみプンプン

終末を唱える謎の団体がプンプンたちと関わることなくフェードアウトしていったのが謎だったが，そういうところに必然性を与えないこと含めて"リアルな世界＂っぽくしているのかなと思った。

アクタージュ

良かった。ざっくり言うと異常者が演劇という場で頭脳戦を繰り広げたり人間関係バトル・マウントの取り合いをする凄い漫画だった。5億年前から連載していると思ってたがまだ10巻くらいだった。

五等分の花嫁

かわいくてよかった。絵柄のかわいさを見て萌え♡ア・ニメ的なものだと偏見していた(とても後悔している)が，ラブコメが誤魔化しがちな恋愛の性質について真摯に向き合いつつラブコメディとして成立している真面目な漫画だった。かぐや様とかもそういう部類だと思う。21世紀は真摯に生きる人間の時代とツイッターに書いてあったけど，つまりこういうことだと思う。

五等分の花嫁は五姉妹とひとりの男が人間関係をして五姉妹のうち何人か(何人であるかはまだわからない。恋愛感情の有無を曖昧に描きそれを読者に考えさせることもラブコメの要素のひとつだと思う)が男に恋をする話で，連載はもうすぐ完結するらしい。

五等分の花嫁は主人公が五姉妹の誰かと結婚するということだけが最初から判明していて，そして「誰かを選ぶ」という行為の意味を雑に扱ってはいない話なので今後なにかしらの形で結着がつくのだろう。

そのとき本気で恋愛をしていたキャラクターたちが恋愛に失敗して「これも人生経験だよね」「本気で恋愛をしていた頃に遂げた成長は今後も変わらない大事なものだよね」「ていうかまだ諦める必要はないよね」みたいなことを言って良い話になっていくとして，それを自分が受け入れられるかはわからない…

興味

新井朝雄の数理物理の世界を眺めて，新井朝雄はどうやら物理学における対称性のファンらしいのだが自分もそういうことに興味が出てきた。対称性というのはある種の変換に関して不変性を持つことだが，相対性理論においてはある種の物理規則がローレンツ変換によって不変という対称性があり，電磁気学ではマクスウェル方程式がゲージ変換で不変という対称性があるらしい。この辺の話題にはちょっと興味が湧いた。
一方で一科目しか履修していなかった物理の教養授業の期末テストが1月末にあったがサボタージュをしたので単位は未回収となった。
他には最近はシンプレクティック幾何に興味がある。解析力学のような物理理論がそのように非常に幾何的な形で記述されるらしいというのは興味深いし，その辺と複素幾何のある種のつながりが有名なミラー対称性とかになるらしい。まだ何も知らない…

総括：平和。

2019-12-05

逆数学の未解決問題のいくつか

はじめに

ここでは，逆数学の未解決問題について最近知った話題をまとめる。逆数学の未解決問題は様々あるが，広範囲についてのまとめではなく私が気になったものと今現在知っているものが中心的になる。この記事は今後更新する可能性が高い。

逆数学とは，数学で既に知られている個々の定理を証明するにはどういった公理系が必要十分であるか，ということを検証する数学基礎論のプログラムである。

通常の数学は $ZFC$ のような集合論の公理系をベースとして展開されるが，通常の数学で扱うような定理の逆数学を行うには集合論の公理系は強すぎることが多い。

そこでペアノ算術にその二階部分を扱う公理図式を追加した二階算術で，逆数学の舞台となる公理系を用意するという研究が発達している。(この形では本質的に可算な構造しか扱えないため，高階算術を用意するといった研究も調べられている。ここではそういう話はしない。)

古典的な結果として，五段階の強さに分かれる二階算術の部分体系(公理系)で逆数学は概ね行えることが判明している。(これを逆数学現象とかBig five 現象などと呼ぶ人もいる。)

その例外となるケースも多く知られており興味の対象となっている。

逆数学の既に知られている結果の簡単な一覧はWikipediaで見れる。

ja.wikipedia.org

ここで $\mathsf{RCA} _ 0$ 上で $\mathsf{ACA} _ 0$ と同値となる定理の項目で

"ラムゼーの定理の一形態などを例とする組合せ論の諸定理" という記述がある。まずはこれについて少し話す。

Ramsey理論周辺

Ramseyの定理の主張を見るための準備をする。

$\mathbb{N}$ の部分集合であって $n$ 元からなる集合の全体を $[\mathbb{N}] ^ n$ で表し， $k$ 元集合を単に $k$ と書く。 $f \colon [\mathbb{N}] ^ n \to k$ を着色という。

$H \subset \mathbb{N}$ が着色 $f$ で等質集合であるとは， $H$ の任意の $n$ 組が $f$ で同じ色になっていることをいう。

自然数 $n, k$ ごとに次の主張を定める。

$\mathsf{RT} ^ n _ k$ : 任意の着色 $f \colon [\mathbb{N} ]^ n \to k$ について等質な無限集合が存在する。

$\mathsf{RT} ^ n$ : 任意の $k$ について $\mathsf{RT} ^n _ k$ が成立する。

$n \ge 3$ のとき $\mathsf{RT} ^ n$ と $\mathsf{RT} ^ n _ k$ は $\mathsf{ACA} _ 0$ と同値となることが知られている。

また， $n \ge 3 , k \ge 2$ のときは $\mathsf{RT} ^ n _ k$ は $\mathsf{ACA} _ 0$ と同値であることが比較的簡単にわかる。(これは Simpson の Subsystems

of second order arithmetic にも書いてある)

では $\mathsf{RT} ^ 2 _ 2$ はどうか。これは逆数学現象に当てはまらない例として知られているようだ。つまり， $\mathsf{RT} ^2 _2$ は $\mathsf{RCA} _ 0$ 上で $\mathsf{ACA} _ 0$ より真に弱く，そして弱ケーニヒの補題とは比較不可能であることが示されている。

すると， $\mathsf{RT} ^2 _2$ で何が示せるか，という疑問が出てくる。

問題　 $\mathsf{RT} ^2 _2$ からアッカーマン関数の全域性や $^ \omega\omega$ の整列性は証明できるか？

これらは $\mathsf{I}\Sigma ^0 _2$ や $\mathsf{RT} ^2$ からは証明可能である。一方で $\mathsf{B}\Sigma ^0 _2$ はどちらも示せない。

$\mathsf{RT} ^2 _2$ の強さは興味を持たれていて色んな問題や予想が立っている。

魔境っぽい感じだったので詳細を書くことをやめたがいつかまとめたい。

Hindmanの定理

どのように自然数全体を $r$ 個の類に分割しても，無限集合 $S \subseteq \mathbb{N}$ であって $S$ の元の有限和全体 $\mathrm{Fin}(S)$ がある類に含まれるようなものが存在する

という主張を Hindman の定理という( $\mathsf{HT}$ と表す)。*1

$\mathsf{HT} \Rightarrow \mathsf{ACA}_0$ と $\mathsf{ACA}_0 ^ + \Rightarrow \mathsf{HT}$ は知られているが，それ以上はまだわかっていないらしい。

ここで $\mathsf{ACA}_0 ^ +$ は $\mathsf{RCA}_0 + \forall X ( X^{(\omega)} \textrm{exist} )$ である。( $X^{(\omega)}$ は $X$ のωチューリングジャンプである。)

問題　 $\mathsf{HT}$ の強さを特定せよ

代数

Wikipediaで $\mathsf{ATR}_0$ と同値となる定理を見ると，可算被約アーベル群に対するUlum の定理というのがある。

ざっくり見ると被約という条件があれば可換群の定理は $\mathsf{ATR}_0$ で扱え，被約性を外すと $\Pi ^1 _1 -\mathsf{CA} _0$ が出てくるらしい。

そこで次のような問題が出ている。

問題　次のふたつは $\Pi ^1 _1 - \mathsf{CA}_0$ と同値か？

・ $G , H$ を可算ねじれ可換群であって $G + G$ と $H + H$ が同型となるものとすると， $G$ と $H$ は同型である。

・ $G , H$ を可算ねじれ可換群であってそれぞれはもう片方の直和因子となっている。このとき $G$ と $H$ は同型である。

Friedmanはこれらの成立と，またこれらは被約性を付加すれば $\mathsf{ATR} _0$ と同値になるだろうと予想している。*2

他には，アルティン環はネーター環である，という定理が $\mathsf{WKL} _0$ を導き， $\mathsf{ACA} _ 0$ から導かれるということが判明している。この定理の強さはどうなるか？という問題が残っている。*3

ジェネトポ

二階算術では完備可分空間がうまくコード化できるので解析学などの定理はその上で調べられるが，ジェネトポをやるにはこれは微妙である。そこでMummer と Simpson により第二可算な位相空間について $\mathrm{MF}$ 空間というものを用いて調べることが考えられている。

$P$ を半順序集合とする。 $P$ に対して定まる $\mathrm{MF}$ 空間 $\mathrm{MF}(P)$ とは，点を $P$ の極大フィルターとし， $p \in P$ で $N_p = \{ F \in \mathrm{MF}(P) : p \in F \}$ を基として定まる位相が入った空間である。